Подозреваю, что вы уже отнесли системник в диагностику, но всё же вставлю свои пять копеек. Для начала упрощу ваше описание - спустя 15 мин нормальной работы монитор неожиданно тухнет, при этом системный блок продолжает гудеть. Запуск снова по кнопке - не помогает. Выключение с помощью длительного нажатия на кнопку, либо другие способы проверки - работает ли сама система при отсутствии картинки, - не пробовал. Отрубаю питание от сети, запускаю - процесс повторяется.

Это похоже на перегрев процессора, срабатывает система защиты. Возможно поможет снятие проца с гнезда и проверка разъёма. Замена материнки при этом - лишь общий случай, поможет конечно, но достаточно обеспечить нормальный контакт проца с площадкой для тепловыделения.

Может также батарейка на материнке подсесть - аккумулятора хватает на 15 мин, пока гудит без монитора, то заряжается. Тогда попробовать поменять батарейку.

Единственно, что я не пойму - причём здесь блок питания? Он монитор не питает, а видюху надо было изолировать в первую очередь.